Приведение прямоугольной матрицы к двухдиагональной форме

Прямоугольная матрица A может быть представлена в виде A = Q·B·P^T, где Q и P - ортогональные матрицы, B - двухдиагональная матрица.

Как и другие алгоритмы ортогональной факторизации (например, алгоритмы QR и LQ-разложения), этот алгоритм использует последовательность элементарных отражений для преобразования матрицы A. Преобразования применяются к матрице слева и справа, последовательно устраняя внедиагональные элементы, пока не будут обнулены все диагонали, кроме двух. Если число строк матрицы A не меньше числа столбцов, то мы получим верхнюю двухдиагональную матрицу, иначе мы получим нижнюю двухдиагональную матрицу.

В результаты работы подпрограммы RMatrixBD матрица A замещается двухдиагональной матрицей B и последовательностью преобразований отражения, хранящейся в упакованной форме. Форма, в которой хранятся преобразования, и параметры подпрограммы подробно описаны в комментариях к ней.

Во многом прослеживается аналогия с QR-разложением, которое использует нижнюю часть матрицы R для хранения матрицы Q, только здесь в упакованной форме хранится не одна, а две матрицы - матрица Q хранится под диагоналями матрицы B, а матрица P хранится над ними.

Как и в случае с QR-разложением, представлены подпрограммы для "распаковки" матриц Q и P: RMatrixBDUnpackQ и RMatrixBDUnpackPT. Первая подпрограмма позволяет получить всю матрицу Q или часть её столбцов, вторая подпрограмма позволяет получить всю матрицу P^T или часть её строк. Подпрограмма RMatrixBDUnpackDiagonals позволяет "распаковать" диагонали двухдиагональной матрицы.

Этот алгоритм перенесен из библиотеки LAPACK.