W-критерий Уилкоксона

W-критерий Уилкоксона - это непараметрический тест, использующийся для сравнения медианы распределения с заданным значением m. Этот критерий может использоваться в качестве независимой от распределения альтернативы t-критерию Стьюдента для одной выборки, требующему нормальности распределения.

Этот тест предъявляет к исследуемой выборке следующие требования:

шкала измерений ^[1] должна быть порядковой, интервальной или относительной (т.е. тест нельзя применять к номинальным переменным).
исследуемое распределение должно быть непрерывно и симметрично относительно своей медианы
число различных значений в массиве X должно быть не менее 5

Замечание #1
Предположение о симметричности распределения является критичным для работы теста. В случае, если оно не выполняется, тест неприменим и возвращаемые им уровни достоверности некорректны. В этом случае можно использовать менее мощный, но более общий критерий знаков.

Подпрограмма WilcoxonSignedRankTest возвращает три p-значения:

p-значение для двухстороннего теста (нуль-гипотеза - медиана распределения совпадает с переданной величиной)
p-значение для левостороннего теста (нуль-гипотеза - медиана распределения больше или равна переданной величине)
p-значение для правостороннего теста (нуль-гипотеза - медиана распределения меньше или равна переданной величине)

Алгоритм работы теста прост. Все элементы выборки, равные m, отбрасываются, после чего у нас остаются только два типа элементов: строго большие m и строго меньшие m. Элементы сортируются по абсолютной величине, после чего считается величина W⁺ - сумма рангов элементов, больших 0. В случае, если нуль-гипотеза верна (т.е. медиана выборки равна m), то эта величина имеет распределение, которое может быть легко вычислено с применением динамического программирования и протабулировано. Для определения уровня значимости, соответствующего полученному значению W⁺, используются таблицы значений (для малых N) или асимптотические аппроксимации (для больших N). Этот способ позволяет получать p-значения в интервале [0.0001, 1] с точностью до двух знаков после запятой. Хотя "два знака" звучит не слишком внушительно, но на практике относительная погрешность, не превосходящая 1%, достаточна для принятия решений.

Замечание #2
Некоторые источники рекомендуют использовать для оценки уровня значимости нормальное распределение с параметрами μ = 0.25·N·(N+1) и σ² = N·(N+1)·(2N+1)/24. Это позволяет обойтись без составления специальных таблиц распределения W⁺. Действительно, при росте N распределение W⁺ сходится к нормальному распределению с указанными параметрами. Однако, хотя скорость сходимости неплоха, все же лучше не аппроксимировать распределение W⁺ нормальным распределением, поскольку в ряде случаев аппроксимация оказывается недостаточно точна.