t-тесты Стьюдента

Одной из часто встречающихся статистических проблем является проверка гипотез относительно математического ожидания исследуемых выборок. Существует целый ряд статистических тестов, называемых t-тестами Стьюдента, проверяющих различные гипотезы относительно математического ожидания.

t-тест для одной выборки

Этот тест используется для проверки гипотезы о том, что математическое ожидание случайной величины X, представленной выборкой x_S, имеет заданное значение μ. Тест требует, чтобы переданная в него выборка являлась выборкой нормальной случайной величины.

В процессе своей работы тест вычисляет t-статистику

Если величина X распределена нормально, то статистика t будет иметь распределение Стьюдента с N-1 степенями свободы. Это позволяет нам использовать распределение Стьюдента для определения уровня значимости, соответствующего полученному значению t-статистики.

Замечание #1
В случае, если X не является нормальной случайной величиной, то величина t будет иметь другое, неизвестное распределение, и, строго говоря, t-тест Стьюдента нельзя применять. Однако в соответствии с центральной предельной теоремой при росте размера выборки распределение t будет стремиться к распределению Стьюдента. Таким образом, если размер выборки достаточно велик, то мы можем использовать t-тест, даже если требование нормальности распределения не выполняется. Однако не существует простого способа определить, какое N достаточно велико. В каждом конкретном случае есть своя граница, зависящая от того, насколько исследуемое распределение отклоняется от нормального. Некоторые источники приводят в качестве "достаточно большого N" 30, но даже этот размер выборки может оказаться недостаточен. Альтернативой в этом случае может являться непараметрический тест - критерий знаков или W-критерий Уилкоксона.

Подпрограмма StudentTTest1 возвращает три p-значения:

p-значение для двухстороннего теста (нуль-гипотеза - равенство математического ожидания выборки переданному числу)
p-значение для левостороннего теста (нуль-гипотеза - математическое ожидание выборки больше или равно, чем переданное значение)
p-значение для правостороннего теста (нуль-гипотеза - математическое ожидание выборки меньше или равно, чем переданное значение)

t-тест для двух выборок с равными дисперсиями

Этот тест проверяет гипотезу о том, что математические ожидания двух случайных величин X и Y, представленных выборками x_S и y_S, совпадают. Для корректной работы теста требуется выполнение следующих условий:

обе случайные величины имеют нормальное распределение
дисперсии случайных величин равны (или незначительно различаются)
выборки независимы

В процессе своей работы тест вычисляет t-статистику

Если величины X и Y распределены нормально, то статистика t будет иметь распределение Стьюдента с N_X+N_Y-2 степенями свободы. Это позволяет нам использовать распределение Стьюдента для определения уровня значимости, соответствующего полученному значению t-статистики.

Замечание #2
В случае, если X или Y не является нормальной случайной величиной, то величина t будет иметь другое, неизвестное распределение, и, строго говоря, t-тест Стьюдента нельзя применять. Вместе с тем, в соответствии с центральной предельной теоремой при росте размера выборок распределение t будет стремиться к распределению Стьюдента. Таким образом, если размер выборок достаточно велик, то мы можем использовать t-тест, даже если требование нормальности распределений не выполняется. Однако не существует простого способа определить, какие N_X и N_Y достаточно велики. В каждом конкретном случае есть своя граница, зависящая от того, насколько исследуемые распределения отклоняются от нормального. Некоторые источники приводят в качестве критерия N_X+N_Y > 40, но даже настолько большие выборки могут оказаться недостаточными. Если вы не уверены в нормальности исследуемых распределений, имеет смысл обратиться к непараметрическому тесту - U-критерию Манна-Уитни.

Подпрограмма StudentTTest2 возвращает три p-значения:

p-значение для двухстороннего теста (нуль-гипотеза - равенство математических ожиданий)
p-значение для левостороннего теста (нуль-гипотеза - математическое ожидание первой выборки больше или равно математическому ожиданию второй выборки)
p-значение для правостороннего теста (нуль-гипотеза - математическое ожидание первой выборки меньше или равно математическому ожиданию второй выборки)

t-тест для двух выборок с неравными дисперсиями

обе случайные величины имеют нормальное распределение
выборки независимы

В процессе своей работы тест вычисляет t-статистику

Если величины X и Y распределены нормально, то статистика t будет иметь распределение, близкое к распределению Стьюдента с числом степеней свободы DF:

Это позволяет нам использовать распределение Стьюдента для определения уровня значимости, соответствующего полученному значению t-статистики.

Замечание #3
В случае, если X или Y не является нормальной случайной величиной, то величина t будет иметь другое, неизвестное распределение, и, строго говоря, t-тест Стьюдента нельзя применять. Однако в соответствии с центральной предельной теоремой при росте размера выборок распределение t будет стремиться к распределению Стьюдента. Таким образом, если размер выборок достаточно велик, то мы можем использовать t-тест, даже если требование нормальности распределений не выполняется. Однако не существует простого способа определить, какие N_X и N_Y достаточно велики. В каждом конкретном случае есть своя граница, зависящая от того, насколько исследуемые распределения отклоняются от нормального. Некоторые источники приводят в качестве критерия N_X+N_Y > 40, но даже настолько большие выборки могут оказаться недостаточными. Если вы не уверены в нормальности исследуемых распределений, имеет смысл обратиться к непараметрическому тесту - U-критерию Манна-Уитни.

Подпрограмма UnequalVarianceTTest возвращает три p-значения:

p-значение для двухстороннего теста (нуль-гипотеза - равенство математических ожиданий)
p-значение для левостороннего теста (нуль-гипотеза - математическое ожидание первой выборки больше или равно математическому ожиданию второй выборки)
p-значение для правостороннего теста (нуль-гипотеза - математическое ожидание первой выборки меньше или равно математическому ожиданию второй выборки)