Обобщенная симметричная положительно определенная задача собственных значений

Обобщенной симметричной положительно определенной задачей собственных значений называется одна из трех задач поиска собственных значений вида

Ax = λBx
ABx = λx
BAx = λx

где матрица A - симметричная, а матрица B - симметричная положительно определенная.

Очевидно, что эта задача легко сводится к задаче поиска собственных значений несимметричной матрицы общего вида (во втором и третьем случаях достаточно просто умножить матрицы A и B, в первом - умножить обе части системы на B^-1). Однако, несимметричная задача собственных значений на порядок сложнее симметричной, так что имеет смысл поискать более эффективный путь. Например, можно свести задачу к классической симметричной задаче, если воспользоваться разложением Холецкого матрицы B (ниже приведен пример для первой задачи).

Ax = λBx
Ax = λLL^Tx
AL^-TL^Tx = λLL^Tx
L^-1AL^-TL^Tx = λL^Tx
(L^-1AL^-T)(L^Tx) = λ(L^Tx)

откуда получаем задачу

Cy = λy
C = L^-1AL^-T
y = L^Tx

Здесь матрица C симметричная, так что мы получили хорошо изученную и эффективно решаемую задачу. Собственные числа в обоих задачах совпадают, собственные векторы исходной задачи могут быть получены путем решения системы линейных уравнений с треугольной матрицей. Аналогичные преобразования могут быть проведены в двух других случаях.

Описание подпрограмм

В этом модуле реализовано две подпрограммы для решения обобщенной симметричной положительно определенной задачи собственных значений. Первая из них, SMatrixGEVDReduce, осуществляет приведение вышеуказанных задач к классической симметричной задаче, возвращая матрицы C (матрицу задачи) и R (треугольную матрицу, позволяющую восстановить собственные векторы). Вторая подпрограмма, SMatrixGEVD, использует первую для решения обобщенной задачи, самостоятельно осуществляя все необходимые вызовы и преобразуя полученные векторы.